Factor común

Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.

1) 5x+25x^2+10x^5 Fact. C:5x 
5x(1+5x+2x^4) 

2) x^7 + x^3 FC:x^3 
x^3(x^4+1) 

3) a(x + 3) + b(x + 3) FC: (x+3) 
(x+3)(a+b) 

4) x^2-a^2+x-a^2x 
(x-a^2)(x+1) 

5) 6ax+3a+1+2x 
(6ax+3a)+ (1+2x) 
3a(2x+1)+(1+2x) 
(2x+1)(3a+1) 

Ejercicios por resolver 

8a - 4b + 16c + 12d =
7x² + 11x³ - 4x⁵ + 3x⁴  - x⁸ =
9x³ - 6x² + 12x⁵ - 18x⁷ = 
9x²ab - 3xa²b³ + x²az = 
36x⁴ - 48x⁶ - 72x³ + 60x⁵ =

Agrupación de Términos 

DEFINICIÓN:

Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo. 

REGLA:

Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.

Ejemplos:

1) 2y + 2j +3xy + 3xj = 
(2y+2j)+(3xy+3xj)= 
2(y+j)+3x(y+j)= 
(2+3x)(y+j) 

2) 5x4y + 3x2y -9xy -15xy2 
5x4y -15xy2 + 3x3y -9y= 
5xy (x3 -3y) +3y (x3 -3y)= 
(x3 -3y)(5xy +3y) 

3) 20ac + 15bc +4ad + 3bd = 
(20ac + 4ad) + (15bc + 3bd) = 
4a(5c + d) + 3b(5c + d)= 
(4a + 3b)(5c + d) 

4) 18a3 + 12a2 - 15a - 10 = ( 
18a3 + 12a2) - (15a + 10) = 
6a2(3a + 2) - 5(3a + 2)= 
(6a2 - 5)(3a + 2) 

5) 5x4y + 3x2y -9xy -15xy2 
5x4y -15xy2 + 3x3y -9y= 
5xy (x3 -3y) +3y (x3 -3y)= 
(x3 -3y)(5xy +3y) 

EJERCICIOS POR RESOLVER:

1)  4ab² + 3yz – 9y²z⁴ – 16a⁵b⁴

 2) 2x² + 3xy – 4x - 6y

 3) ab + x²y² – a³b⁴ + x⁴y⁵

4) 6 a x + 3 a + 1 + 2 x = 

5) x + x² - x y² - y² = 

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

CONCEPTO:

Un trinomio es cuadrado perfecto si:

• Dos de sus términos son cuadrados perfectos, y

• el término restante es igual al doble producto de las raíces cuadradas de dichos términos, o al opuesto de dicho producto.

REGLA:
El primero y tercer termino sean cuadrados perfectos aplicando la ley de signos y su respuesta devuelva al segundo valor, aplicando el doble producto del primero por el segundo .

EJEMPLOS:
(a+b)²=a² + 2ab + b² 

(1+1)²=1² + 2*1*1 + 1² 

(2+2)²=2² + 2*2*2 + 2² 

2)  x²  +  6x  +  9 = (x + 3)²
3) x² + 2x + 1 = (x + 1)²
4) x²   -  10x   +   25 = (x - 5)^2
5) 9x²  +  30x  +  25 = (3x + 5)²

EJERCICIOS SIN RESOLVER:

1.  

2. 

3. 

4. 

5. 

 4to CASO DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS 

CONCEPTO:

Un número cuadrado perfecto en matemáticas, o un número cuadrado, es un número entero que es el cuadrado de algún otro; dicho de otro modo, es un número cuya raíz cuadrada es un número entero.

Un número es un cuadrado perfecto si se puede «ordenar» en una figura cuadrada. Por ejemplo, 9 es un número cuadrado perfecto ya que puede ser escrito como 3 × 3, y se puede ordenar 

REGLA:

Extraer la raíz cuadrada del primer y segundo valor el primero positivo y el segundo negativo (que al final  nos devolverá una suma por una deferencias de los productos  notables).

EJEMPLOS:

 1)    25b⁴c⁴ – 49a⁴x⁶z¹⁴

(5b²c² + 7a²x³z⁷) (5b²c² - 7a²x³z⁷) resp.

2)    1 – 9a²b⁴c⁶d⁸

(1 + 3ab²c³d⁴) (1 - 3ab²c³d⁴) resp.

3)    .-x² - 4 = (x-2) (x+2) 
4)    .-x^4 - 16 = (x² - 4) +(x² + 4) 
5).   -16x^2 - 36y^4 = (4x - 6y^2) (4x+6y^2) 

5to caso  TRINOMIO DE LA  FORMA ax2+bx+c

CONCEPTO:

Se multiplica y se divide el trinomio por el coeficiente del primer término.

REGLA:

multiplicamos al trinomio por el coeficiente de  x2

extraemos la raíz cuadrada del primer valor y buscamos 2 numeros que multiplicando me devuelva el tercer termino.

EJEMPLOS:

  1)    X²  + 5x + 6

      (x   +  3)  (x  +  2)

   2)    m² – 7m + 12.

      (m – 3)  (m –  4)

3)     X² + 7x + 10.

 (x + 5  )  (x +  2 ) 

 4)    a² – 7a – 30

 (a – 10   )  (a + 3 )

5)    m² – 7m + 12.

  (m – 3)  (m –  4) 

EJERCICIOS POR RESOLVER:

1 )  6x² - 7x - 3 =

2)  15a²-8a-12=

3 ) 10m²-m-21

4)  12m²-25m+12

      5) 20x²+x-1

6to CASO TRINOMIO DE LA FORMA x2+bx+c

CONCEPTO:

• Tienen un termino positivo elevado al cuadrado y con coeficiente 1 ().

• Posee un termino que tiene la misma letra que el termino anterior pero elevada a 1 (bx) (puede ser negativo o positivo).

• Tienen un termino independiente de la letra que aparece en los otros dos (+ o -).

REGLA:

Extraer la raíz cuadrada del primer valor entre paréntesis dos veces bajar el primer signo para el primer paréntesis y para el segundo paréntesis aplicar la ley de signos.

 buscar 2 números que multiplicados me den al tercer valor y los mismos números me den sumados al segundo valor.

ejemplos: 

EJERCICIOS POR RESOLVER: